С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях b уравнение:
а)

\sqrt{x} = x + b

;
б)

\sqrt{x} = - x + b

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 5. Номер №475

\sqrt{x} = x + b

x - \sqrt{x} + b = 0

(\sqrt{x})^{2} - \sqrt{x} + b = 0

Дискриминант:
D = 1 − 4b ≥ 0
Необходимое условие наличия корней:

b \leq \frac{1}{4}

Значения

\sqrt{x}

\sqrt{x} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 b}}{2} \geq 0

При

b > \frac{1}{4}

корней нет.
При

b = \frac{1}{4}

получаем один корень:

\sqrt{x} = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{4}

При

0 \leq b < \frac{1}{4}

получаем два корня:

\sqrt{x} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 b}}{2}

x = \frac{(1 \pm \sqrt{1 - 4 b})^{2}}{4}

При

b < 0

получаем один корень:

\sqrt{x} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4 b}}{2}

x = \frac{(1 + \sqrt{1 - 4 b})^{2}}{4}

Представим результаты анализа в виде таблицы:
Решение рисунок 1

\sqrt{x} = - x + b

x + \sqrt{x} - b = 0

(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} - b = 0

Дискриминант:
D = 1 + 4b ≥ 0
Необходимое условие наличия корней:

b \geq - \frac{1}{4}

Значения

\sqrt{x}

\sqrt{x} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 b}}{2} \geq 0

Так как

- 1 - \sqrt{1 + 4 b} < 0

, ∀ b, то остается только:

\sqrt{x} = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 b}}{2} \geq 0

Требование

- 1 + \sqrt{1 + 4 b} \geq 0

\sqrt{1 + 4 b} \geq 1

b \geq 0

Получаем для b

{\begin{cases} b \geq - \frac{1}{4} \\ b \geq 0 \end{cases}

При b < 0 корней нет.
При b ≥ 0 получаем один корень

x = \frac{(\sqrt{1 + 4 b})^{2}}{4}

Представим результаты анализа в виде таблицы:
Решение рисунок 1

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова